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第二 两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析（第1页）

第二节两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析

下面通过具体例子进行分析和讨论，以说明两种性质不同的数学方法和方式如何在近代微积分形成中相互交融，进而实现数学思想的创新的。

数学家吴文俊先生早在20世纪70年代中期就指出：“到西欧17世纪以后才出现的解析几何与微积分，乃是通向所谓近代数学的主要的两大创造，一般认为这些创造纯粹是西欧数学的成就。但是中国的古代数学绝不是不起着重大作用（甚至还是决定性的作用）的。”[44]他甚至断言：“微积分的发明乃是中国式数学战胜了希腊式数学的产物。”[45]我认为，吴先生的这个观点是振聋发聩的（不只是在当时）！它是一个数学家以历史的眼光对该领域问题长期思考的结果。但是，中国式数学有哪些特征，它表现了怎样的数学方法和数学认知方式，在微积分方面又是如何战胜希腊数学的？这些都是需要进行深入研究的，需要做大量艰苦细致的工作——看看所有权威的有关微积分发展史的数学著作（它们至多只是少量地提到巴比伦、印度的数学思想，根本就没有提到中国式数学及其影响），便可想象出这种研究的难度。在这里，我把这一问题的讨论纳入数学方法和数学认知方式的分析当中，从板块认知的角度，把近代微积分理论的创立看作是东西方两大数学“板块”相互“碰撞”导致的结果，或者说，是“欧亚数学”（Eurasiaics）板块的构造物，从而真正把微积分的发明看作是“人类精神的卓越胜利”[46]。具体来说，把近代微积分的形成看作是感性经验与思维抽象、形象类比与逻辑推理、数值计算与几何证明两种数学认知方式的交互作用的产物，尽管许多时候我们难以清晰地分清和剥离这样两组不同的认识方式和认知方式。下面我分四部分来论述。

一、两种不同类型的“微积分的形而上学”：对“无限的恐惧”与对无限的接纳

一定的认识论和方法论总是同一定的哲学思考、哲学观念（特别是本体论方面的）联系在一起的。这种哲学思考和哲学观念涉及世界的无限与有限、连续与间断、时间与空间、运动与静止等基本方面，并在此基础上形成相应的认识论和方法论。有数学家将它们称为“微积分的形而上学”（指研究超感觉的、经验以外对象的哲学）。[47]由于微积分的形而上学对数学微积分的表现形态、认知取向等有着规范和制约的作用，并且人们不能设想某种微积分数学思想与它的微积分形而上学是完全分离开来的，因此，我们考察微积分概念的形成不能不首先考察微积分的形而上学。非常有意味的是，微积分的形而上学在不同的时代、不同的民族都有其独特的表现形态。而尤以东西方民族之间的差异最为突出。下面我从一些基本史料出发对这方面的概念做一些梳理和归类。

先来看古希腊。研究表明，早期的希腊自然哲学和数学已经接触到无限（无穷小和无穷大）、不可公度比、连续性等问题，并且形成了一些初步的观念。例如，自然哲学家阿那克西曼德把“无限者”作为万物的本原而加以探讨。毕达哥拉斯及其学派主张空间的无限性。原子论者德谟克利特试图以数学原子论的观点来解决不可公度比问题。他认为凡线段总能无限分割。

然而，“在毕达哥拉斯和德谟克利特以后，希腊几何中是不大欢迎无限小的”[48]。例如，巴门尼德的学生芝诺（ZenoofElea）明确否定无限小量。他说：“一个东西如果增加一些并不变大，减少一些并不变小，他便肯定没有这个东西。”[49]为了论证自己的观点，他提出的四个著名的疑难，揭露了有限与无限、间断与连续、相对静止与绝对运动之间的矛盾。虽然这个疑难具有古希腊式的“辩证法”的味道，却也使古希腊人对“无穷”一类的概念望而却步。在柏拉图那里，他反对毕达哥拉斯的无限概念和作为具有位置的单元的单子概念以及德谟克利特的原子论。他认为，与其把连续量看作由不可划分的量的集合所组成，不如认为是由阿那克西曼德的“无限者”的流动所生成。[50]他还把“善”与“恶”同“有限”与“无限”对应起来；“无限”被看作是“恶”的东西。

出于某种折中的意愿，亚里士多德将柏拉图的无限观与毕达哥拉斯的无限观作了比较。他说：“有些人，如毕达哥拉斯派和柏拉图，把无限看作为自在的实体，而非其他事物的属性。不过毕达哥拉斯派把无限置于感性事物之列（他们是不把数和感性事物分离开来的），并主张伸到天外的就是无限。而柏拉图则主张天外无物，理念也不在天外，因为不能说它是在什么地方的，但是不但在感性事物中而且在理念中都有无限。其次，毕达哥拉斯派把无限者和偶数等同看待，因为偶数在被奇数围限的情况下，还是赋予事物以无限性。……可是柏拉图则主张有两个无限：大和小。”[51]而柏拉图定了两个无限，也是因为他认为，在加和减的两个方向，超过界限并无限地进行下去是可能的。柏拉图虽然定了两个无限但没有用过它们。因为在数里，在减的方向上没有无限，因为他认为“数字‘一’是最小的；在加的方向上也没有无限，因为他认为数字到‘十’为止”。据此，亚里士多德认为，柏拉图的无限观是充满矛盾的。“‘无限’的真正含义正好与平常大家理解的相反，不是‘此外全无’，而是‘此外永有’。”[52]为摆脱这一困境，亚里士多德将“无限”区分为“实无限”和“潜无限”两类。在他看来，由于无限是永远延伸着的、不可分割开来的独立部分的东西，因此，无限只能是潜在的、不断生成的，只能是一种假设这样，亚里士多德就把实无限的存在完全否定了，而只限于用无限这个词去表示一种潜无限。此外，亚里士多德否定原子论者的不可分量（无论是在物理上或在数学上）观点。

对此，美国数学史家波耶评论道，亚里士多德反对最小不可分线段的观点是出自经验上的理由；从逻辑学上讲，也是无懈可击的。[53]但是，亚里士多德将无限区分为实无限和潜无限，这成为后来中世纪经院哲学家在相关问题上争论不休的根源。由于他强调了现实存在的可理解性和不可超越性，势必导致在数学中将导数和积分的概念当作超越于可理解之物以上的推断而加以排斥的倾向，并必将把数学思想局限于直观上合理的范围之内。而这个观点与近代以来对无限小观点的理解并不一致。有鉴于此，亚里士多德的这种无限观被近代特别是19世纪的数学家完全抛弃了。也就是说，亚里士多德最终也没能解决无限、极限和连续性一类的问题。出于同样的心理，“为避免提出直线可无穷延伸，Euclid说一线段（他书中的‘直线’就是指线段）可以按需要加以延伸。从Euclid对平行公理的叙述也可看出他不愿涉及无穷大”[54]。由此可看出，在一定的微积分的形而上学指导下，古希腊数学家不能清晰定义无穷小量——无穷小量只能被看作一个固定的量，而不是一个辅助变量。

与缺乏无限、极限观念紧密相连的是，希腊人还缺乏连续的、运动的观念。除了芝诺以“飞矢不动”表达他的鲜明的静止不动的观点外，毕达哥拉斯学派的科学和数学也主要是讲形式与结构，而不讲可变性；倘使将他们的哲学应用于自然界的变化而不是应用于永恒的方面，他们在解释运动时就必然要用到芝诺在第三和第四难题中所攻击的观点。而要回答芝诺难题还必须要有连续的、运动的概念。但是，希腊哲学家和数学家没能用清晰的方式去解答芝诺的疑难。所以他们基本上滞留于芝诺的难题中而不能自拔，即使讨论运动与变化，他们往往也是局限于形而上学的思辨范围之内，或者像如赫拉克利特的著作中所表现的，或者像亚里士多德那样在数学与物理学之间做出某种区分：前者是研究“不包含运动的事物”，后者则专门研究运动的事物——在亚里士多德看来，数与数之间不能产生一个连续统，因为数与数之间不能相互接触。他甚至反对微积分学的基本概念——瞬时变化率。

总之，希腊人较早地触及微积分的形而上学问题，并试图对之进行概念性的说明，以图摆脱单纯的依赖经验的状态。其中一些难题和概念的提出反映出人类智力所做出的努力。但是，总体上来说，希腊人的微积分形而上学与他们总的形而上学自然观，是相一致的，即他们对可变的、整体的世界以一种静止的、分析的眼光来看待，而看不到运动与变化，看不到或较少看到无限与有限、连续与间断、时间与空间、运动与静止等之间的相互关系。由于这一原因，古希腊自然哲学家（还有部分数学家）对无限、极限的概念缺乏一以贯之的、明确的认识，他们甚至对无限充满恐惧。正如美国学者C。H。爱德华所说：“希腊人总是谨慎地避免明显地‘取极限’，这种精神上‘对无限的恐惧’，或许是使得穷竭法逻辑不甚清晰的原因。”[55]又说：“希腊人对于无限，特别是对于我们称为极限的概念所赋予的神秘感，已消隐（即使未能消除）在欧多克斯原理之中。在这方面，亚里士多德注意到：当时的数学家并未使用无穷大和无穷小的量，而只满足于可以使之任意大或任意小的量。”[56]这些正是他们的不足；对于微积分思想的形成来说，这些也许是致命的。

再来看古代东方。与古希腊人相反，中国古代贤哲一开始便对无限、连续、极限等基本概念持敞开的和接受的态度。早在先秦时期，中国就已经形成了成熟的无限宇宙观和无限时空观。例如，《老子·十四章》中的“道”，是“迎之不见其首，随之不见其后”，意即“道”化生天地万物，上下运行不止，具有无穷的时间和空间意味。庄子对时空的无限性有着直接和清晰的阐述。在庄子的《逍遥游》中，作者就提出苍天（空间）是不是无限的问题：“天之苍苍，其正色邪？其远而无所至极邪？”他肯定了天上的河汉是没有止境、没有边际的。他还否定时间有“开始”：“……有始也者，有未始有始也者，有未始有夫未始有始也者；……”（《齐物论》）这即是说，当“有始”是无限地逆推下去的时候，“有始”也就成了“未始”。关于“无极”（无穷）的说法，《列子·汤问》中也有精彩的论述：“殷汤曰：‘然则上下八方有极尽乎？’革曰：‘不知也。’汤固问。革曰：‘无则无极，有则有尽；朕何以知之？然无极之外复无无极，无尽之中复无无尽。无极复无无极，无尽复无无尽。朕以是知其无极尽也，而不知其有极有尽也。”[57]这种对宇宙无限的看法，论者是很自信的。

在《周易》象数系统中，不仅包含无限分割的思想，更有运动、变化的描述。例如，“变动不居，周流六虚，上下无常，刚柔相易”（《系辞下》），讲的就是阴爻和阳爻在六个虚位上流转环行，周而复始，运动不止。关于这方面的意蕴，宋代哲学家深得其精髓。如理学的开创者周敦颐在其《太极图说》中说道：“无极而太极。太极动而生阳，动极而静，静而生阴。静极复动。一动一静，互为其根。……二气交感，化生万物，万物生生而变化无穷焉。”[62]易学大师邵雍将《周易》中“易有太极，是生两仪”的思想加以扩展和推演，把卦爻的变化看作是数值递增的过程：“太极既分，两仪立矣。……是故，一分为二，二分为四，四分为八，八为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四。故曰‘分阴分阳，迭用柔刚，故易六位而成章。’十分为百，百分为千，千分为万。犹根之有干，干之有枝，枝之有叶。愈大则愈少，愈细则愈繁。合之斯为一，衍之斯为万。”[63]程颐将邵雍的这种方法概括为“加一倍法”（《外书》十二）。朱熹也说，康节之数“只是一分为二，节节如此，以至无穷”（《朱子语类》卷六十七）。

研究表明，数学家刘徽的思想受到了历代名家、墨家、道家以及易经象数思想的影响。例如，他在《〈九章算术〉注》中认为自己从事数术研究就是“观阴阳之割裂，总算术之根源。”在“割圆术”中，他很有可能受到名家“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的影响。[64]数学史家郭书春明确指出，“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉”中的“微则无形”句，脱胎于《庄子·秋水》中“河伯曰：世之议者皆曰，‘至精无形……’……北海若曰，‘……夫精，小夫微也；……夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也’”一段。[65]

在印度佛教中，实在论的观点中包含有极限的思想。在佛教徒看来，外部世界并无稳定性，存在仅仅是一系列外部的变化；构成实在本质的是前后“相依缘起”的诸“刹那”。按照苏联学者舍尔巴茨基（FědorIppolitovichStcherbatsky）的阐释，“刹那”是指不同的事物在刹那间相互区别，它们之间没有任何间歇，或者说只有微分的（无穷剖分后的）极少间歇。而这个所谓刹那恰恰是作为终极实在的存在物，它可以被看作是数学上的“点”，是一个有着“别性”的绝对的“自在之物”；它作为“非连续的、唯一的、分离的东西是一切持续性的极限并且被当作某种绝对的数学的点刹那的最终存在”[66]。因此，“数学的极限应该是印度学者们熟悉的”[67]。

另一位英国学者亚瑟·伯林德尔·凯思（ArthurBerriedaleKeith）在他的书中分析了印度正理派和胜论派中的“极微”思想。他指出，所谓极微是必然有分的（由部分所组成的）；可以有“二微”“三微”和“多微”。细微所成者只会是更细微的结果。如果这种细微的分析可以无穷分割下去，那就得承认：体大如山和微如麦芒，其体量性体积性依然存在。这也就肯定了无限细微者与有体有量者的平等性质。然而，极微论者同时认为，虚空无所不在，而极微并不表明虚空的存在。因此，极微的分析总有尽头；极微是可分割的最小的极限。[68]这种看似矛盾的情形也许正如凯思所分析的，可能是受到希腊的影响（虽然并没有原封不动地接受希腊的观念）造成的。类似的情况也表现在其他方面。例如，在佛教徒看来，刹那是没有时间的持续性和空间广延性；后者只是所谓名言或生起性想象的产物。所以依此之见，刹那恰恰是间断性或而非连续性。这样一来，没有连续性，何来趋于极限的无限可分概念呢。把作为数学之点的刹那终极实在又看作是无限可分的，难道不是矛盾的吗。也许，印度佛教徒正是靠着这个充满思辨和想象的概念——刹那，将彼此矛盾的间断与连续、运动与静止、无限与有限统一了起来。于是，从刹那的角度来看，稳定性可以被理解为只是第一刹那的稳定，而运动只是刹那的系列：一种由前后无间追随的紧密组合。

这里有必要简略谈谈与“0”的概念相关的哲学观念。因为0的概念及其符号与后来的微积分思想关系极大。以斯宾格勒为代表的一些学者认为，0的概念与印度宗教中的“非存在”思想有关。斯宾格勒指出，印度人的数字就像婆罗门教的涅槃一样是不可理喻的。然而正是这种精神“才能够产生出虚无作为一个真正的数即零的伟大概念，甚至在那时，这个零对于印度人之所以是零，是因为存在与非存在同样是外在的”[69]。确实，在佛教徒看来，“反面”（y）和“非存在”（non-being）是积极而美好的。因为佛教徒以生活和世界的反面为出发点；对他们而言，存在是“无”（nothing）。非存在是印度人和佛教徒积极追求的状态，是他们试图达到的涅槃境界。应当说，这种思想和文化对于接受“0”这样的概念确实比较容易，或者说不会给数学家造成太大问题（非存在是具体的、可探讨的状态）。但也有不同意的观点。例如，美国学者卡普兰（RobertKaplan）认为，斯宾格勒等人的错误在于用“空白”（void）或者“空的”（empty）意思来错误地翻译“sunya”这个词。然而，在印度教徒的眼中并没有绝对的空白或者虚无状态。“sunya”一词的含义不是空白，它就像“一个中空的子宫，准备好去膨胀”。它的伙伴词“kha”来自动词“去挖”，含有挖洞并将其填满的意思。[70]我认为，这两种观点并不构成根本冲突：当印度数学家把0看作某一数而进行乘除加减时，或以一量来除以0被看作是无穷大（通往涅槃的道路）时，实际上他们并没有把0看作是绝对的空白或虚无。[71]

从以上的比较可看出，古代中国、印度的微积分的形而上学与古希腊有着鲜明的差异。前者都体现出朴素辩证法的一些基本原则，更强调运动、变化、连续等以及对象的无限可分性。其中的一些观点虽然具有鲜明的直观性和经验性，但却闪耀着智慧的光芒，具有很强的灵活性和包容性，可解释性的范围非常广泛。尤其是其中对无限的接纳，对极限的直觉，对“刹那”的洞悉等，正是微积分思想得以形成的温床或必不可少的元素。这或许是后来的微积分更倾向于东方的哲学观念而悖逆于古希腊哲学的一个重要原因。当然，东方的微积分形而上学也有自身的不足，即直观的猜测有余而概念性的分析不足；许多重要思想埋没在经验性的算法当中而不能充分地彰显出来。

二、两种处理数学微积分的方法：几何的与算法的

与不同的微积分形而上学相应的是两种不同的解决微积分问题的数学方法；或毋宁说，不同的微积分数学方法助长了不同的微积分形而上学。大体说来，这两种不同的数学方法，一是几何的，二是算法的。

还是先来看古希腊数学家所采用的方法。与早期希腊数学注重演绎推理的方法相一致，他们在处理微积分问题时的方法基本上是几何化的。在早期，毕达哥拉斯学派的“面积贴合理论”试图通过把一个图形贴合到另一个图形上去的做法，给面积概念以明确的定义。例如，两个长度a和b的乘积不是第三个长度的计算是通过边长为a和b的矩形的两个面积之和给出。但是，在把这一理论应用于线段的比较时，人们发现正方形的边叠合到对角线上时会出现不可公度量。从此，虽然希腊人把无理量作为几何学的一部分，但他们从来也没有想到要创造无理数来逾越这个障碍。到后来希腊人干脆放弃毕达哥拉斯学派将数的领域与几何的或连续量的领域等同起来的努力。

对于毕达哥拉斯学派遇到的量的不可公度困难，德谟克利特也许是熟悉的。他可能尝试通过“数学原子论”的理论去解决它。这种数学原子论似乎可以看作具有无限小量性质的不可分量理论。[72]但这种理论所揭示的充其量也只是一种固定的无限小量，它本身所具有的离散性并不能消弭毕达哥拉斯学派用几何学说明连续性的“先天不足”。至于柏拉图，他虽然似乎已经意识到算术与几何之间存在的鸿沟，但他的工作主要还是集中在几何方面。并且，他反对毕达哥拉斯学派持有的无限的概念和德谟克利特的原子论。如果说，他在微积分思想史上有什么贡献的话，那就是他所形成的抽象化的路线能够有效抵消毕达哥拉斯和德谟克利特的“线有厚度”的原子论观点中的过于诉诸感性经验而无法适用的不足；他的“无限者”的流动生成虽然是基于对运动的直观，但却消除了直观中的感性因素和原子论的粗糙感，因而是一个与莱布尼茨生成中的无限小概念非常相似的概念。这对微积分的初创是有帮助的。[73]

为了最终解决前人遇到的难题，数学家欧多克斯提出了“比例论”和“穷竭法”。在比例论中，欧多克斯给出了更一般的定义，即“存在一个整数n，使得na＞b”（当约定两比较的量）。这个定义不一定要求比式的两项都是（整）数，而只要比例中的四个项全是几何量就行，这样也就无须扩充毕达哥拉斯学派的数的概念了。在穷竭法中，欧多克斯把他之前的数学家安提丰和布莱森的思想发展为处理关于两个不同的、异质的或不可公度的量的问题的严格论证形式。即他弃而不用数字的概念，而是给出“如从较大的量减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于其一半的量，这样一直继续下去，总可使某一余下的量小于已知的较小的量”的原理。其论证的每一步都诉诸空间直观，分割过程中根本不用像一个无穷边数的多边形（一个最终跟圆重合的多边形）这样含混不清的概念。由于没有采用数值的等式（而是两个面积之间的一个比例关系），欧多克斯的穷竭法不可能出现数“π”的情形，这也就回避了算术而部分地解决了前人的难题。他与安提丰一样，所用的方法是纯几何的。

在古希腊数学史上，没有任何一个数学家能像阿基米德那样更接近于微积分思想了。但他的方法同样偏重于几何。他继承了欧多克斯的“穷竭法”，并将其发展成“括约法”（methodofpression），即当在用此方法来证明圆面积时，他不仅利用圆内接正多边形，而且也用圆外切正多边形，以便把圆的面积“括约”在十分接近于圆的内接与外切两个正多边形之间。为了达到论证的准确性，阿基米德逐步把边数加倍，得到内接和外切的正12，24，48和96边形，最多时达到了640边形。所不同的是，在论证中阿基米德并没有把演绎的穷竭法作为一种适用于发现新结果的工具，而是把它同德谟克利特和柏拉图曾经探索过的无限小量观念结合起来。例如，为了解决抛物线弓形面积的问题，阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法给出了证明。他的具体方法是，在抛物线弓形中作底边相等、顶点相同、面积为A的内接三角形。接着，分别在以三角形的两边为底的两个小弓形里面再作这种内接三角形；一直这样做下去，在得到一系列边时，同时得到越来越大的多边形。然后，他证明，第n个这种多边形的面积由级数给出。这就是所谓“双重归谬法”。它证明：抛物线弓形的面积既不能大于也不能小于第n个这种多边形的面积所给出的级数。（见图13-4）

图13-4阿基米德双重归谬法

无疑，阿基米德的穷竭法是一种强有力的方法，他的工作是现代微积分思想的出发点。但是，阿基米德的穷竭法在用直线逼近曲线的过程中并没有明显地从极限上去着想。准确地说，阿基米德在穷竭法中所做的证明并没有去求无穷级数的极限，而只是求出前n项加上余项后的和，即他没有明确表明，在极限里已经没有余项了。因此，说阿基米德的几何演算是引向极限的通道是不确切的。因为正如波耶所说：“穷竭法虽然在许多方面都跟现代微积分中用于证明极限存在性的论证形式一样，但并不表示包括在求极限过程中的观点。希腊的穷竭法仅处理连续量，所以是纯几何的，因为当时对算术的连续量还缺乏了解。”[74]爱德华也指出，微积分的三个必不可少的组成部分在阿基米德的工作和研究方法中是见不到的。一是阿基米德同样没能摆脱希腊人“对无限的恐惧”，因此没有极限概念的明确引入。二是阿基米德强调通过几何构思来解决问题，过度依赖几何化的代数学，而没能建立计算面积和体积的一般法则。三是阿基米德像希腊人那样只是把切线看成“切触”线，因而就很难使人想到这种互逆关系和做出“变化率”的解释。[75]

从认知方式上来说，希腊人的几何方法与他们的演绎推理逻辑是紧密相关的。希腊人特别注重定义的明晰性、公理的自明性和推理的严密性；在思考和讨论问题时，一般很注意问题的逻辑前提。凡是能够从几何空间直观上加以把握和论证的方法和步骤，则加以承认；凡是需要直觉和想象才能加以理解的概念，则加以拒斥。例如，由于数学家安提丰提出的问题被认为没有严密的逻辑性，亚里士多德认为人们根本没有义务去驳斥它。[79]但是，许多问题特别是比较复杂的问题的解决，仅仅依靠几何直观和证明是不够的。例如，穷竭法对应在于一种几何直观，而在这种几何直观中难以形成极限的概念。在这里，这些问题与说是逻辑上的困难，不如说是形象化的困难。或者说，正是形象化比较困难，希腊人退而求其逻辑上的证明。他们采用了间接、清晰却又相当烦琐的推理证明方法。例如，前述“归谬”性的逻辑证明就是如此。在这个证明过程中，虽然他们舍弃了任何不明晰或模糊的概念，却也因此与无穷小、无限、极限、无理数等概念失之交臂。

还有一点，即0的概念与微积分思想的形成有重要的关系，但希腊人没有发明0的概念，这同样与他们的认知方式有关。首先，位置数符号和文字系统关系密切。在最早的字母表比如闪米特字母表和希腊字母表里，字母被用来表示数字。前10个字母表示从1到10的数字，接着的9个字母表从20、30到100的十位数。这种计数系统没有位置数0。虽然罗马人也用字母表开发了一套数字系统，但计算方法及其笨拙。可以说，字母表推动了希腊人演绎逻辑和理性精神的发展，而“希腊人成了自己逻辑那种线性的非此即彼取向的奴隶。结果，他们的想象力受到拘束，这就使他们难以构想‘0’的概念”[80]。

在刘徽的方法中，他通过运用算法数学发展出一种别具特色的“割圆术”。所谓“又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。（《九章算术·方田圆田术注》）[83]根据已知弦和矢，用勾股法求出圆的直径，然后连续平均分割已知弓形，得到无穷多个更小的弓形，最后弓形面积为所有三角形面积之和，即以圆心为顶点的无数小等腰三角形与圆面积“合体而无所失”。（见图13-5）[84]

图13-5刘徽依勾股之法割圆图