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第二 两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析02（第5页）

[116]中国古代缺乏表达指数的有效方法，因此也无法写出等比数列公式，只能给出等比数列求第n项的算例。

[117]自柏拉图以后，“解析”一词指的是，从所要证明的结论开始，往回做去，直到达到一些已知的东西为止。但是，“解析”一词被韦达、笛卡尔用来描述代数应用几何作图等方面的情形，其原意是用代数来分析几何作图问题。至18世纪，在著名的《百科全书》（Encyclopédie）中，数学家d’Alembert把“代数”和“解析”当作同义词用。进一步地，通过欧拉、拉格朗日等的工作，“解析几何”一词含有证明和使用代数方法的意思，可与“综合几何”相提并论。不再被认为，一个是发明的手段，而另一个是证明的方法。应当说，两者都是演绎的。参见M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第25～26页。

[119]上海师范大学等选编：《欧洲哲学史原著选编》，福州，福建人民出版社，1985，第379～380页。

[120]〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第15页。

[121]〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第24页。

[122]〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第24页。

[123]参见尹大贻：《库萨的尼古拉》，载钟宇人、余丽嫦编：《西方著名哲学家评传》（第三卷），济南，山东人民出版社，1984。

[124]〔意〕布鲁诺：《论原因、本原与太一》，汤侠声译，北京，商务印书馆，1984，第117页。

[125]〔德〕奥斯瓦尔德·斯宾格勒：《西方的没落》，吴琼译，上海，上海三联书店，2006，第69页。

[126]〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学系翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第100页。

[127]M。克莱因指出，莱布尼茨直接用x和y的无穷小增量（即微分）来求出它们之间的关系，这体现出他的哲学的某些方面。他的哲学着眼于物质的最终微粒，而这些微粒，莱布尼茨称之为“单子”。波耶也说：“科学家牛顿，在速度观念中找到了在他看来很满意的基础；而哲学家莱布尼茨……则宁可从微分——在他哲学体系中起极大作用的单子在思维中的对应物——中去寻找这个基础。”见〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学系翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第226页。如果这个观点成立，那么我们就可以进一步在莱布尼茨的单子论与中国古典哲学的相互关联中寻找来源性的解释。但这种解释不是轻易就可以作出的。

[128]SasakiChikara：“WhatAreRevolutionsiigUy，November，2005。15。

[129]JudithV。GrabihematcalTruthTime-DepeheAmeriMathematithly，Vol。81，No。4。Apr。，1974，pp。354～365。

[130]〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学系翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第83页。

[131]〔德〕莱布尼茨：《人类理智新论》（上册），陈修斋译，北京，商务印书馆，1982，第138～139页。

[132]〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第109页。

[133]〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第136页。

[135]恩格斯：《自然辩证法》，于光远等译编，北京，人民出版社，1984，第164页。

[136]有趣的是，沃利斯工作所受的主要启发却来自托里拆利详细加注的卡瓦列里的不可分量的几何方法。

[137]李文林指出，插值算法在微积分的酝酿过程中扮演过重要角色。在中国，从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期则出现二次内插法（如一行的《大衍历》，公元727年）；到宋元时期，便产生了三次内插法（如郭守敬的《授时历》，1280年）。在此基础上，数学家朱世杰创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。见李文林：《中国古代数学的发展及其影响》，载《中国科学院院刊》2005年第1期。

[138]〔德〕奥斯瓦尔德·斯宾格勒：《西方的没落》，吴琼译，上海，上海三联书店，2006，第75页。斯宾格勒还认为，代数运算过程实质上是列等式的过程，而不是度量的过程。同样的，几何学也在改变；坐标系作为图像化的过程消失了，点成了一个完全抽象的数群。只有当“无穷小量”转向“任何可能的确定量的最低极限”时，才会产生出在任何非零的可指定数的下面摆动的变数的概念。这种变数不再具有任何量的特征，即所表达的极限不再是对某一数值的趋近，而其本身就是趋近，就是过程，就是运算。所以，极限不是一种状态，而是一种关系。见该书第84页。

[139]〔美〕C。H。爱德华：《微积分发展史》，张鸿林译，北京，北京出版社，1987，第226页。

[140]转引自〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第19页。

[141]〔英〕牛顿：《自然哲学之数学原理》，载〔英〕斯蒂芬·霍金编：《站在巨人的肩上》（下），张卜天等译，沈阳，辽宁教育出版社，2004，第837页。

[142]转引自〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第65页。

[143]〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学系翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第110页。

[144]马克思：《数学手稿》，北京大学《数学手稿》编译组编译，北京，人民出版社，1975，第85页。

[145]莱布尼茨说，我们“假定消失量dy和dx的比等于（d）y和（d）x的比，而这个假定永远能归结到一个不容怀疑的真理”。转引自〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第102页。

[147]马克思：《数学手稿》，北京大学《数学手稿》编译组编译，北京，人民出版社，1975，第212页。

[148]“就在1797年这样的年代里，拉格朗日在他的《解析函数论》中说，微积分及其以后的发展只是初等代数的一个推广。因为代数和解析是同义词，所以微积分也叫作解析。”见〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第二册），上海，上海科学技术出版社，1979，第26页。

[149]马克思：《数学手稿》，北京大学《数学手稿》编译组编译，北京，人民出版社，1975，第59页。

[150]〔美〕M。克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，长沙，湖南科学技术出版社，2004，第175页。